Question

14．設(shè)a，b，c是△ABC的三邊長，二次函數(shù)y=（a-$\frac{2}$）x²-cx-a-$\frac{2}$在x=1時取最小值-$\frac{8}{5}$b，則sinA=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)二次函數(shù)y=（a-$\frac{2}$）x²-cx-a-$\frac{2}$在x=1時取最小值-$\frac{8}{5}$b，可得-$\frac{-c}{2（a-\frac{2}）}=1$，$\frac{-4（a-\frac{2}）（a+\frac{2}）{-（-c）}^{2}}{4（a-\frac{2}）}=-\frac{8}{5}b$，據(jù)此求出a、b、c的關(guān)系，進而判斷出△ABC是直角三角形；然后根據(jù)一個角的正弦的求法，求出sinA的值是多少即可．

解答 解：∵二次函數(shù)y=（a-$\frac{2}$）x²-cx-a-$\frac{2}$在x=1時取最小值-$\frac{8}{5}$b，
∴-$\frac{-c}{2（a-\frac{2}）}=1$…（1），
∴$\frac{-4（a-\frac{2}）（a+\frac{2}）{-（-c）}^{2}}{4（a-\frac{2}）}=-\frac{8}{5}b$…（2），
由（1），可得
c=2a-b…（3），
由（2），可得
20a²+11b²-32ab+5c²=0…（4），
把（3）代入（4），可得
10a²-13ab+4b²=0，
解得b=2a，或b=$\frac{5}{4}a$，
（1）當b=2a時，
c=2a-b=2a-2a=0，不符合題意；
（2）當b=$\frac{5}{4}$a時，
c=2a-b=2a-$\frac{5}{4}$a=$\frac{3}{4}a$，
∵${a}^{2}{+（\frac{3}{4}a）}^{2}$=$\frac{25}{16}$a²，${（\frac{5}{4}a）}^{2}$=$\frac{25}{16}$a²，
∴a²+c²=b²，
∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，
∴sinA=$\frac{a}{\frac{5}{4}a}=\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 （1）此題主要考查了二次函數(shù)的最值，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x=-$\frac{2a}$時，y=$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x=-$\frac{2a}$時，y=$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$．
（2）此題還考查了直角三角形的判斷和性質(zhì)的應(yīng)用，以及一個角的三角函數(shù)值的求法，要熟練掌握．