Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1）、B（3，5），以AB為邊作如圖所示的正方形ABCD，頂點在坐標原點的拋物線恰好經過點D，P為拋物線上的一動點．
（1）直接寫出點D的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）求點P到點A的距離與點P到x軸的距離之差；
（4）當點P位于何處時，△APB的周長有最小值，并求出△APB的周長的最小值．

Answer 1

解：（1）設D點的坐標為（x，y），過A點作x的平行線l，過B點作BE⊥l于E點，過D點作DF⊥l于F點，
∵B點坐標為（3，5）、A點坐標為（0，1），
∴AE=3，BE=4，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，
∵∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠FAD，
在Rt△AEB和Rt△DFA中，
，
∴在Rt△AEB和Rt△DFA中，
∴AF=BE=4，DF=AE=3，
∴D點的坐標為（-4，4）；
D（-4，4）；

（2）設拋物線解析式為y=ax²，拋物線經過點D坐標（-4，4），
即4=16a，解得a=，
因此，所求拋物線解析式為y=x²；

（3）設P點坐標為（x，x²），A點坐標為（0，1），
|PA|==x²+1，點P到x軸的距離d=x²
點P到點A的距離與點P到x軸的距離之差=|PA|-d=x²+1-x²=1；

（4）作A點關于x軸的對稱點A′，過A′作x軸的平行線m，過B點作BE⊥直線m交于點E，P′點就是△APB的周長有最小值時P點的位置，
∵A點坐標為（0，1），
∴A′點坐標為（0，-1），
首先證明P′A=P′E，
設P′點坐標為（x，y），
|P′A|===|y+1|，|P′E|=|y+1|，
于是證明出P′A=P′E，
而點P'在拋物線上，且其橫坐標為3，
∴點P'坐標為（3，）；由于兩點之間線段最短，那么此時△APB的周長最短；
因此，當點P為（3，）時，△APB的周長值最小，且為L=|AB|+|AP|+|BP|=|AB|+|BE|=5+6=11．
分析：（1）設D點的坐標為（x，y），過A點作x的平行線l，過B點作BE⊥l于E點，過D點作DF⊥l于F點，根據點A（0，1）和B（3，5）可以求出AE、BE的長，然后再證明Rt△AEB≌Rt△DFA，求出AF和DF的長，進而求出D點的坐標．
（2）設拋物線解析式為y=ax²，把D點坐標代入求出a的值，進而求出拋物線解析式；
（3）設P點坐標為（x，x²），分別求出P點到A點的距離和到x軸的距離，求出兩距離之差即可；
（4）作A點關于x軸的對稱點A′，過A′作x軸的平行線m，過B點作BE⊥直線m交于點E，P′點就是△APB的周長有最小值時P點的位置，首先證明P′A=P′E，然后P′坐標，進而求出△APB的周長有最小值．
點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，涉及到拋物線的性質，兩點間距離的求法，此題難度較大，特別是（4）問，需要同學們很強的解答二次函數試題的綜合能力．