Question

如圖，已知在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB⊥AC，CD⊥BD．
（1）求證：△AOD∽△BOC；
（2）若cos∠ABO=

5

3

，S_△BOC=18，求S_△AOD的值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AB⊥AC，CD⊥BD，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由對頂角相等，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，易得△AOB∽△DOC，即可得到比例線段，再由∠AOD=∠BOC，即可證得△AOD∽△BOC；
（2）由cos∠ABO=

5

3

，可得

AB

BO

=，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得S_△BOC的值．

解答：（1）證明：∵AB⊥AC，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴

AO

DO

=

BO

CO

∴

AO

BO

=

DO

CO

又∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC；

（2）∵∠BAC=90°，cos∠ABO=

5

3

，
∴

AB

BO

=

5

3

，

AO

BO

=

2

3

，
∵△AOD∽△BOC，
∴

S△AOD

S△BOC

=

4

9

，
∵S_△BOC=18，
∴S_△AOD=8．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的定義．解題時要注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，有兩角對應(yīng)相等的三角形相似與有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似的性質(zhì)的應(yīng)用．