Question

已知：如圖，AB為⊙O的弦，P為AB延長線上的一點，PC切⊙O于C，CD為⊙O的直徑，CD交AB于E，DE=2，AE=3，BE=6，則PB=

1. A.
   9
2. B.
   12
3. C.
   15
4. D.
   6

Answer 1

C
分析：過O作OF垂直于AB，利用垂徑定理得到F為AB的中點，由AB的長求出AF的長，再由AF-AE求出EF的長，利用相交弦定理得到AE•BE=DE•EC，求出EC的長，由DE+EC求出直徑DC的長，確定出半徑OD的長，由OD-DE求出OE的長，由CP為圓O的切線，得到EC垂直于CP，得到一對直角相等，再由一對公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形EFO與三角形ECP相似，由相似得比例，將各自的值代入即可求出PB的長．
解答：解：過O作OF⊥AB，交AB于點F，
又AE=3，BE=6，
∴AF=BF=AB=（AE+BE）=4.5，
∴EF=AF-AE=4.5-3=1.5，
由相交弦定理得到AE•BE=DE•EC，
∵DE=2，AE=3，BE=6，
∴EC==9，
∴圓的直徑DC=DE+EC=2+9=11，半徑OD=5.5，
∴OE=OD-DE=5.5-2=3.5，
∵CP為圓O的切線，∴∠ECP=90°，
∴∠EFO=∠ECP=90°，且∠FEO=∠CEP，
∴△EFO∽△ECP，
∴==，即=，
解得：PB=15．
故選C
點評：此題考查了切線的性質，垂徑定理，相交弦定理，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．