Question

如圖，已知△ABC中AB=AC，在BA的延長線上取點D，在AC上取點E，使AD=AE，連結DE，求證：DE⊥BC．

Answer 1

答案：略
解析：

證明：延長DE交BC于G，作△ABC底邊BC上的高AF，如圖, ∵AD=AE(已知)，∴∠D=∠AED(等邊對等角) 又∵∠BAC=∠D＋∠AED(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和) ∴∠D=∠BAC(等式性質) ∵AF⊥BC(作圖)， ∴∠BAF=∠BAC(等腰三角形三線合一定理) ∴∠D=∠BAF(等量代換) ∵∠BAF＋∠B=90°(直角三角形的兩個銳角互余) ∴∠D＋∠B=90°(等量代換) ∴∠DGB=180°－(∠D＋∠B)=90°(三角形內角和定理) 即：DE⊥BC(垂直定義)

提示：

要證明DE⊥BC，可考慮等腰三角形中，與底邊垂直的有關定理，通過與之建立聯系來證明DE⊥BD．我們知道三線合一定理中有這樣的垂直關系，所以，可作底邊BC上的高AF，然后，設法證明DE∥AF．