Question

如圖，⊙O是以原點(diǎn)為圓心，

2

為半徑的圓，點(diǎn)P是直線y=-x+4上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、3

  2

  -1
• D、

  6

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定B（0，4），A（4，0），則可判斷△OAB為等腰直角三角形，所以AB=

2

OA=4

2

，OH=

1

2

AB=2

2

，再根據(jù)切線的性質(zhì)，由PQ為⊙O的切線得到OQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理得到PQ=

OP2-OQ2

=

OP2-2

，所以當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小，根據(jù)垂線段最短得到OP=OH時(shí)，OP最小，即可計(jì)算出切線長(zhǎng)PQ的最小值=

6

．

解答：解：連結(jié)OP，OQ，作OH⊥AB于H，如圖，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+4=4，則B（0，4）；當(dāng)y=0時(shí)，-x+4=0，解得x=4，則A（4，0），
∵OA=OB，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=4

2

，
而OH⊥AB，
∴OH=

1

2

AB=2

2

，
∵PQ為⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△POQ中，PQ=

OP2-OQ2

=

OP2-2

，
∴當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小，
而OP=OH時(shí)，OP最小，
∴切線長(zhǎng)PQ的最小值=

(2 2 )2-2

=

6

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．