Question

8．如圖，∠A=45°，AB=30，點E在線段AB上運動，過點E作DE⊥AB，交AG于點D．以DE、EB為鄰邊作矩形BCDE．將△ADE沿直線DE翻折，使點A落在點F處．設(shè)矩形BCDE與△ADF重疊部分的面積為S，線段DE的長為x（0＜x＜30）．
（1）線段EF的長為x．（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當矩形BCDE為正方形，求x的值．
（3）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）若線段DF把矩形BCDE分成面積比為1：3的兩部分，直接寫出此時x的值．

Answer 1

分析 （1）由折疊和∠A=45°得：△AED是等腰直角三角形，所以AE=EF=ED=x；
（2）由正方形的邊長相等得：DE=BE，得：x=30-x，解出即可；
（3）分兩種情況：
①當0＜x≤15時，矩形BCDE與△ADF重疊部分的面積就是△DEF的面積，
②當15＜x＜30時，如圖2，矩形BCDE與△ADF重疊部分的面積就是梯形DEBH的面積，
代入面積公式求解即可；
（4）分四種情況：再圖1和圖2中分別將矩形分割的比為1：3或3：1時，分別代入面積公式列等式即可求出相應(yīng)的x的值，注意0＜x＜30．

解答 解：（1）如圖1，由折疊得：AE=EF，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵∠A=45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE=EF=x；
故答案為：x；
（2）當矩形BCDE為正方形時，DE=BE，
∴x=30-x，
x=15；
（3）分兩種情況：
①當0＜x≤15時，如圖1，由圖可知：矩形BCDE與△ADF重疊部分的面積就是△DEF的面積，
∵△DEF是將△ADE沿直線DE翻折所得的直角三角形，
∴S=S_△DEF=$\frac{1}{2}$DE•EF=$\frac{1}{2}{x}^{2}$；
②當15＜x＜30時，如圖2，矩形BCDE與△ADF重疊部分的面積就是梯形DEBH的面積，
由折疊得：∠A=∠DFA=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=BF=2x-30，
∴BE=x-BF=x-（2x-30）=30-x，
∴S=S_梯形DEBH=$\frac{1}{2}$BE（BH+DE）=$\frac{1}{2}$（30-x）（2x-30）=-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+60x-450，
綜上所述，S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤15）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+60x-450（15＜x＜30）}\end{array}\right.$．

4）分四種情況：
①如圖1，當0＜x≤15時，當S_△DEF：S_{四邊形DFBC}=1：3時，即S_△DEF：S_矩形DEBC=1：4，
∴S_矩形DEBC=4S_△DEF，
x（30-x）=4×$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
x²-10x=0，
x（x-10）=0，
x₁=0（舍），x₂=10；
②如圖1，當0＜x≤15時，若S_△DEF：S_{四邊形DFBC}=3：1時，即S_△DEF：S_矩形DEBC=3：4，
∴3S_矩形DEBC=4S_△DEF，
3x（30-x）=4×$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
90x-3x²=2x²，
5x²-90x=0，
x²-18x=0，
x（x-18）=0，
x₁=0（舍），x₂=18（舍）；
③如圖2，當15＜x＜30時，若S_△DCH：S_{四邊形DEBH}=1：3，即S_△DCH：S_矩形DEBC=1：4，
∴S_矩形DEBC=4S_△DCH，
∴x（30-x）=4×$\frac{1}{2}$（30-x）（30-x），
x（30-x）=2（30-x）²，
x₁=30（舍），x₂=20，
④如圖2，當15＜x＜30時，若S_△DCH：S_{四邊形DEBH}=3：1，即S_△DCH：S_矩形DEBC=3：4，
∴3S_矩形DEBC=4S_△DCH，
∴3x（30-x）=4×$\frac{1}{2}$（30-x）（30-x），
2（30-x）²-3x（30-x）=0，
（30-x）（60-5x）=0，
x₁=30（舍），x₂=12（舍），
答：此時x的值是10或20．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形、正方形、等腰直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及面積的求法，明確等腰直角三角形的兩直角邊相等，且兩銳角都是45°，同時利用數(shù)形結(jié)合的思想，觀察重疊部分的圖形，確定其面積的求法；本題難度適中，屬于中考�？碱}型．