Question

如圖,拋物線（b,c是常數(shù),且c＜0）與軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)）,與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)OA的長(zhǎng)度;

（2）若常數(shù)b,c滿足關(guān)系式：．求拋物線的解析式．

（3）在（2）的條件下,點(diǎn)P是軸下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),連接PB、PC．設(shè)△PBC的面積為S．

①求S的取值范圍;

②若△PBC的面積S為整數(shù),則這樣的△PBC共有多少個(gè)（直接寫出結(jié)果）？

 

Answer 1

【答案】

（1）OA=1;（2）拋物線的解析式;（3）①0＜S＜5;②+c,﹣2c;11．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)可得：OA=1;

（2）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)A (－1,0),得到：b = c+,聯(lián)立,求出b,c的值即可;

（3）①分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí);（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí);

②由0＜S＜5,S為整數(shù),得出S=1,2,3,4．分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí),（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí)．

試題解析：（1）OA=1;

（2）∵拋物線過(guò)點(diǎn)A (－1,0),

∴b=c+,

∵,

∴,

∵c＜0,

∴,

∴,

∴拋物線的解析式;

（3）①設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x,）．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1,0）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,﹣2）,

∴AB=5,OC=2,直線BC的解析式為y=x﹣2．

分兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí),0＜S＜S△ACB．

∵S△ACB=AB•OC=5,

∴0＜S＜5;

（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,交CB于點(diǎn)F．

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（x,x﹣2）,

∴PF=PG﹣GF=﹣（x2﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x2+2x,

∴S=S△PFC+S△PFB=PF•OB=（﹣x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4,

∴當(dāng)x=2時(shí),S最大值=4,

∴0＜S≤4．

綜上可知0＜S＜5;

②∵0＜S＜5,S為整數(shù),

∴S=1,2,3,4．

分兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí),設(shè)△PBC中BC邊上的高為h．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1,0）,點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,﹣2）,

∴AC2=1+4=5,BC2=16+4=20,AB2=25,

∴AC2+BC2=AB2,∠ACB=90°,BC邊上的高AC=．

∵S=BC•h,∴h=．

如果S=1,那么h=×1=＜,此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè),△PBC有1個(gè);

如果S=2,那么h=×2=＜,此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè),△PBC有1個(gè);

如果S=3,那么h=×3=＜,此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè),△PBC有1個(gè);

如果S=4,那么h=×4=＜,此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè),△PBC有1個(gè);

即當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí),滿足條件的△PBC共有4個(gè);

（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜4時(shí),S=﹣x2+4x．

如果S=1,那么﹣x2+4x=1,即x2﹣4x+1=0,

∵△=16﹣4=12＞0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,此時(shí)P點(diǎn)有2個(gè),△PBC有2個(gè);

如果S=2,那么﹣x2+4x=2,即x2﹣4x+2=0,

∵△=16﹣8=8＞0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,此時(shí)P點(diǎn)有2個(gè),△PBC有2個(gè);

如果S=3,那么﹣x2+4x=3,即x2﹣4x+3=0,

∵△=16﹣12=4＞0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,此時(shí)P點(diǎn)有2個(gè),△PBC有2個(gè);

如果S=4,那么﹣x2+4x=4,即x2﹣4x+4=0,

∵△=16﹣16=0,∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,此時(shí)P點(diǎn)有1個(gè),△PBC有1個(gè);

即當(dāng)0＜x＜4時(shí),滿足條件的△PBC共有7個(gè);

綜上可知,滿足條件的△PBC共有4+7=11個(gè)．

故答案為+c,﹣2c;11．

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考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．