Question

設(shè)x＞0，試比較代數(shù)式x³和x²+x+2的值的大小．

Answer 1

設(shè)x=0，
則x³＜x²+x+2．①
設(shè)x=10，則有x³=1000，x²+x+2=112，
所以x³＞x²+x+2．②
設(shè)x=100，則有x³＞x²+x+2．
觀察、比較①，②兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當x值較小時，x³＜x²+x+2；當x值較大時，x³＞x²+x+2．
那么自然會想到：當x=？時，x³=x²+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．
為此，設(shè)x³=x²+x+2，則
x³-x²-x-2=0，
（x³-x²-2x）+（x-2）=0，
（x-2）（x²+x+1）=0．
因為x＞0，所以x²+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣
（1）當x=2時，x³=x²+x+2；
（2）當0＜x＜2時，因為
x-2＜0，x²+x+1＞0，
所以（x-2）（x²+x+1）＜0，
即x³-（x²+x+2）＜0，
所以x³＜x²+x+2．
（3）當x＞2時，因為
x-2＞0，x²+x+1＞0，
所以（x-2）（x²+x+1）＞0，
即x³-（x²+x+2）＞0，
所以x³＞x²+x+2．
綜合歸納（1），（2），（3）就得到本題的解答．