Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F（AB＞AE）．問：△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由．

Answer 1

答：相似，
證明：延長FE和CD交于P，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠EDF=90°，
∵E為AD中點，
∴AE=DE，
在△AFE和△DPE中
∵，
∴△AFE≌△DPE（ASA），
∴PE=EF，
∵EC⊥EF，
∴PC=FC，
∴∠PCE=∠FCE，
∵CE⊥EF，∠A=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
即∠A=∠EDC，∠AFE=∠DEC，
∴△AFE∽△DEC，
∴∠AEF=∠DCE，
∵∠DCE=∠FCE，
∴∠AEF=∠ECF，
∵∠A=∠FEC=90°，
∴△AFE∽△EFC．
分析：延長FE和CD交于P，求出等腰三角形PCF，推出∠PCE=∠FCE，根據(jù)△AFE∽△DEC推出∠AEF=∠PCE，推出∠A=∠FEC，∠AEF=∠ECF，根據(jù)相似三角形的判定推出即可．
點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)等知識點的綜合運用．