Question

將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片△ABC和△DEF．將這兩張三角形膠片的頂點B與頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉，這時AC與DF相交于點O

（1）當△DEF旋轉至如圖②位置，點B（E），C，D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數(shù)量關系是 _________ ；
（2）當△DEF繼續(xù)旋轉至如圖③位置時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；
（3）在圖③中，連接BO，AD，探索BO與AD之間有怎樣的位置關系，并證明

Answer 1

解：（1）∠AFD=∠DCA．
證明：∵AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴∠AFD=∠DCA；
（2）∠AFD=∠DCA（或成立），
理由如下：
方法一：由△ABC≌△DEF，得：
AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABC﹣∠FBC=∠DEF﹣∠CBF，
∴∠ABF=∠DEC，
在△ABF和△DEC中，，
∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC，
∴∠BAC﹣∠BAF=∠EDF﹣∠EDC，
∠FAC=∠CDF，
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA；
方法二：連接AD，
同方法一△ABF≌△DEC，
∴AF=DC，
∵△ABC≌△DEF，
∴FD=CA，
在△AFD和△DCA中，，
∴△AFD≌△DCA，
∴∠AFD=∠DCA；
（3）如圖，BO⊥AD．
方法一：由△ABC≌△DEF，點B與點E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD，
∴點B在AD的垂直平分線上，且∠BAD=∠BDA，
∵∠OAD=∠BAD﹣∠BAC，
∠ODA=∠BDA﹣∠BDF，
∴∠OAD=∠ODA，
∴OA=OD，點O在AD的垂直平分線上，
∴直線BO是AD的垂直平分線，即BO⊥AD；
方法二：延長BO交AD于點G，
同方法一，OA=OD，
在△ABO和△DBO中，，
∴△ABO≌△DBO，
∴∠ABO=∠DBO，
在△ABG和△DBG中，，
∴△ABG≌△DBG，
∴∠AGB=∠DGB=90°，
∴BO⊥AD．