Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，
求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

（1）證明：①∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．

（2）△ADC≌△CEB成立，DE=AD+BE．不成立，此時應有DE=AD-BE．
證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△ADC≌△CEB．
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=AD-BE．
分析：（1）直角三角形中斜邊對應相等，即可證明全等，再由線段對應相等，得出②中結論；
（2）由圖可知，△ADC與△CEB仍全等，但線段的關系已發(fā)生改變．
點評：本題考查了三角形全等的判定及性質；熟練掌握全等三角形的性質和判定，此題作為選擇或填空很容易漏掉后一問，注意運用．