Question

11．如圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°．

（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）在圖1中，P為直徑BA延長線上的一點，當(dāng)CP與⊙O相切時，求PO的長；
（3）如圖2，一動點M從A點出發(fā)，在⊙O上按A照逆時針的方向運動一周，當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時，則半徑OM旋轉(zhuǎn)的角度為60°或120°或240°或300°．

Answer 1

分析 （1）首先證明△AOC為等邊三角形，從而得到∠AOC的度數(shù)；
（2）由切線的性質(zhì)可知OC⊥PC，然后依據(jù)特殊銳角三教函數(shù)值可求得OP的度數(shù)；
（3）作點C關(guān)于AB的對稱點C′，然后分別過點C和點C′作平行與AB的直線交⊙O與點D，E，分別求得點M旋轉(zhuǎn)到點C′、E、D、C時，的旋轉(zhuǎn)角即可．

解答 解：（1）∵OC=OA，∠OAC=60°，
∴△AOC為等邊三角形．
∴∠AOC=60°．
（2）∵PC是⊙O的切線，
∴OC⊥OP．
∵$\frac{OC}{OP}$=sin60°，
∴$\frac{4}{OP}=\frac{1}{2}$，解得OP=8cm．
（3）如圖所示：作點C關(guān)于AB的對稱點C′，過點C和點C′作平行與AB的直線交⊙O與點D，E．

∵圓是軸對稱圖形，
∴點C′在⊙O上．
∵點C與點C′關(guān)于AB對稱，
∴S_△C′AO=S_△CAO，∠AOC′=∠AOC=60°．
∴當(dāng)點M位于點C′處時，點M旋轉(zhuǎn)的角度為60°．
∵CD∥AB，C′E∥AB，
∴S_△DAO=S_△EAO=S_△CAO．
∵CD∥AB，C′E∥AB，
∴$\widehat{BD}=\widehat{AC}$，$\widehat{BE}=\widehat{AC′}$．
∴∠EOB=60°，∠DOB=60°．
∴當(dāng)點M位于點E處時，點M旋轉(zhuǎn)的角度為120°，當(dāng)點M位于點D處時，點M旋轉(zhuǎn)的角度為240°．
當(dāng)點M與點C重合時，點M旋轉(zhuǎn)的角度為300°．
綜上所述，點M旋轉(zhuǎn)的角度為60°或120°或240°或300°．
故答案為：60°或120°或240°或300°．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了等邊三角形的性質(zhì)和判定、切線的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值、圓的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)，確定出當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時，點M運動的位置是解題的關(guān)鍵．