Question

如圖，AD是圓O的切線，切點為A，AB是圓O 的弦．過點B作BC∥AD，交圓O于點C，連接AC，過點C作CD∥AB，交AD于點D連接AO并延長交BC于點M，交過點C的直線于點P，且∠BCP＝∠ACD

(1)判斷直線PC與圓O的位置關系，并說明理由：

(2)若AB＝9，BC＝6，求PC的長．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)直線PC與圓O相切． 　　如圖①，連接CO并延長，交圓O于點N，連接BN． 　　∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD． 　　∵∠BAC＝∠BNC，∴∠BNC＝∠ACD． 　　∵∠BCP＝∠ACD，∴∠BNC＝∠BCP． 　　∵CN是圓O的直徑，∴∠CBN＝90°． 　　∴∠BNC＋∠BCN＝90°，∴∠BCP＋∠BCN＝90°． 　　∴∠PCO＝90°，即PC^ OC． 　　又點C在圓O上，∴直線PC與圓O相切．(4分) 　　(2)∵AD是圓O的切線，∴AD^ OA，即∠OAD＝90°． 　　∵BC∥AD，∴∠OMC＝180°－∠OAD＝90°，即OM^ BC． 　　∴MC＝MB．∴AB＝AC． 　　在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，AC＝AB＝9，MC＝BC＝3， 　　由勾股定理，得AM＝＝＝6． 　　設圓O的半徑為r． 　　在Rt△OMC中，∠OMC＝90°，OM＝AM－AO＝6－r，MC＝3，OC＝r， 　　由勾股定理，得OM 2＋MC 2＝OC2，即(6－r)2＋32＝r2．解得r＝． 　　在△OMC和△OCP中， 　　∵∠OMC＝∠OCP，∠MOC＝∠COP， 　　∴△OMC～△OCP．∴＝，即＝． 　　∴PC＝．(8分) 　　解法二：(1)直線PC與圓O相切．如圖②，連接OC． 　　∵AD是圓O的切線，∴AD^ OA， 　　即∠OAD＝90°． 　　∵BC∥AD，∴∠OMC＝180°－∠OAD＝90°， 　　即OM^ BC． 　　∴MC＝MB．∴AB＝AC．∴∠MAB＝∠MAC． 　　∴∠BAC＝2∠MAC．又∵∠MOC＝2∠MAC，∴∠MOC＝∠BAC． 　　∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD．∴∠MOC＝∠ACD．又∵∠BCP＝∠ACD， 　　∴∠MOC＝∠BCP．∵∠MOC＋∠OCM＝90°，∴∠BCP＋∠OCM＝90°． 　　∴∠PCO＝90°，即PC^ OC．又∵點C在圓O上，∴直線PC與圓O相切． 　　(2) 在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，AC＝AB＝9，MC＝BC＝3， 　　由勾股定理，得AM＝＝＝6． 　　設圓O的半徑為r． 　　在Rt△OMC中，∠OMC＝90°，OM＝AM－AO＝6－r，MC＝3，OC＝r， 　　由勾股定理，得OM 2＋MC 2＝OC 2，即(6－r)2＋32＝r2．解得r＝． 　　在△OMC和△OCP中，∵∠OMC＝∠OCP，∠MOC＝∠COP， 　　∴△OMC～△OCP，∴＝，即＝． 　　∴PC＝．(8分)