Question

5．已知x為任意實(shí)數(shù)，則$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值為2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 因?yàn)?\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+{1}^{2}}$，所以欲求$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值，相當(dāng)于如圖A（0，5），B（4，1），在x軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最短，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（4，-1），PA+PB的最小值為AB′的長(zhǎng)．

解答 解：∵$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$=$\sqrt{{x}^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+{1}^{2}}$，
∴欲求$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值，相當(dāng)于如圖A（0，5），B（4，1），在x軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最短，
作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（4，-1），
PA+PB的最小值為AB′的長(zhǎng)=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}-8x+17}$的最小值為2$\sqrt{13}$．
故答案為2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最短問題、二次根式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題解決，屬于中考填空題中的壓軸題．