Question

如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使B落在邊AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)折痕與邊BC或者邊CD（含端點(diǎn)）交于F，然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”。
（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個(gè)“折痕△BEF”是一個(gè)_______；
（2）如圖②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點(diǎn)E位于AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出這個(gè)“折痕△BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說(shuō)明理由，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)？若不存在，為什么？

Answer 1

解：（1）等腰；
（2）如圖①，連接BE，畫BE的中垂線交BC與點(diǎn)F，連接EF，△BEF是矩形ABCD的一個(gè)折痕三角形， ∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2， ∴點(diǎn)A在BE的中垂線上，即折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A， ∴四邊形ABFE為正方形， ∴BF=AB=2， ∴F（2，0）；
（3）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，理由如下： ①當(dāng)F在邊BC上時(shí)，如圖②所示， S△BEF≤S矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時(shí)，面積最大為4； ②當(dāng)F在邊CD上時(shí)，如圖③所示， 過(guò)F作FH∥BC交AB于點(diǎn)H，交BE于K， ∵S△EKF=KF·AH≤HF·AH=S矩形AHFD， S△BKF=KF·BH≤HF·BH=S矩形BCFH， ∴S△BEF≤S矩形ABCD=4， 即當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，△BEF面積最大為4， 下面求面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)， ①當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖④所示， 由折疊可知CE=CB=4， 在Rt△CDE中，ED=， ∴AE=4-2， ∴E（4-2，2）， ②當(dāng)F在邊DC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，如圖⑤所示， 此時(shí)E（0，2）， 綜上所述，折痕△BEF的最大面積為4時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，2）或E（4-2，2）。