Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，C在y軸的正半軸上，S_△ABC為8；
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，直線(xiàn)CD交x軸于E．則x軸上方的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使S_△QBE=15？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)及△ABC的面積求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式即可；
（2）首先確定拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，然后求得直線(xiàn)BC的解析式，求得直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）首先求得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△QBE=15求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)的解析式求得其橫坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，C在y軸的正半軸上，S_△ABC為8，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=4

解得：

a=- 4 3 b= 8 3 c=4

，
∴解析式為：y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；

（2）y=-

4

3

x²+

8

3

x+4的對(duì)稱(chēng)軸為：x=

8 3

-2×(- 4 3 )

=1，
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，
∴

3k+b=0 b=4

解得：

k=- 4 3 b=4

，
∴直線(xiàn)BC的解析式為：y=-

4

3

x+4，
∴

y=- 4 3 x+4 x=1

，
解得：

x=1 y= 8 3

，
∴P（1，

8

3

）；

（3）∵y=-

4

3

x²+

8

3

x+4=-

4

3

（x-1）²+

16

3

，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，

16

3

）
設(shè)直線(xiàn)DC的解析式為y=kx+b，
∴

k+b= 16 3 b=4

解得：

k= 4 3 b=4

∴直線(xiàn)BC的解析式為：y=

4

3

x+4，
令y=0，則x=-3，
∴E（-3，0），
BE=CE+CB=3+3=6
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，b），
由題意得S_△QBE=

1

2

BE×|b|=15
解得：b=5，
把b=5代入y=-

4

3

x²+

8

3

x+4
得=-

4

3

x²+

8

3

x+4=5
解得：x=

1

2

，或x=

3

2

，、
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

1

2

，5），（

3

2

，5），
∴存在點(diǎn)Q（

1

2

，5），（

3

2

，5），使S_△QBE=15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是第（3）題中涉及到的存在性問(wèn)題更是中考的�？贾�識(shí)點(diǎn)之一，應(yīng)加強(qiáng)這種題型的訓(xùn)練．