Question

4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，點D在⊙O上，OD∥BC，過點D作DE⊥AB，垂足為E，連接CD交OE邊于點F．
（1）求證：△DOE∽△ABC；
（2）求證：∠ODF=∠BDE；
（3）連接OC，設(shè)△DOE的面積為S₁，四邊形BCOD的面積為S₂，若$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{2}{7}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB，根據(jù)平行得出∠DOE=∠ABC，根據(jù)相似三角形的判定得出即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠ODE=∠A，根據(jù)圓周角定理得出∠A=∠BDC，推出∠ODE=∠BDC即可；
（3）根據(jù)△DOE～△ABC求出S_△ABC=4S_△DOE=4S₁，求出S_△BOC=2S₁，求出2BE=OE，解直角三角形求出即可．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO=90°，
∴∠DEO=∠ACB，
∵OD∥BC，
∴∠DOE=∠ABC，
∴△DOE～△ABC；

（2）證明：∵△DOE～△ABC，
∴∠ODE=∠A，
∵∠A和∠BDC是$\widehat{BC}$所對的圓周角，
∴∠A=∠BDC，
∴∠ODE=∠BDC，
∴∠ODF=∠BDE；

（3）解：∵△DOE～△ABC，
∴$\frac{{{S_{△DOE}}}}{{{S_{△ABC}}}}={（{\frac{OD}{AB}}）^2}=\frac{1}{4}$，
即S_△ABC=4S_△DOE=4S₁，
∵OA=OB，
∴${S_{△BOC}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$，即S_△BOC=2S₁，
∵$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2}{7}，{S_2}={S_{△BOC}}+{S_{△DOE}}+{S_{△DBE}}=2{S_1}+{S_1}+{S_{△DBE}}$，
∴${S_{△DBE}}=\frac{1}{2}{S_1}$，
∴$BE=\frac{1}{2}OE$，
即$OE=\frac{2}{3}OB=\frac{2}{3}OD$，
∴$sinA=sin∠ODE=\frac{OE}{OD}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，三角形的面積等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．