Question

12．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，動點P從A開始沿AD方向以 1cm/s的速度運動，動點Q從C開始沿CB方向以3cm/s的速度運動，P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間t秒，
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD是平行四邊形．
（2）當(dāng)t為何值時，四邊形PQCD是等腰梯形．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，可得方程24-t=3t，解此方程即可求得答案；
（2）首先過D作DE⊥BC于E，可求得EC的長，又由當(dāng)PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形，可求得當(dāng)QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（24-t）=4時，四邊形PQCD為等腰梯形，解此方程即可求得答案．

解答 解：根據(jù)題意得：PA=tcm，CQ=3tcm，則PD=AD-PA=24-t（cm）．
（1）∵AD∥BC，
即PD∥CQ，
∴當(dāng)PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，
即24-t=3t，
解得：t=6，
即當(dāng)t=6s時，四邊形PQCD為平行四邊形；

（2）過D作DE⊥BC于E，
則四邊形ABED為矩形，
∴BE=AD=24cm，
∴EC=BC-BE=2cm，
當(dāng)PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形，如圖所示：
過點P作PF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E，
則四邊形PDEF是矩形，
∴EF=PD，PF=DE，
在Rt△PQF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=DE}\\{PQ=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，
即3t-（24-t）=4，
解得：t=7，
即當(dāng)t=7s時，四邊形PQCD為等腰梯形．

點評 此題考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法．