Question

8．已知：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC、BD交于點(diǎn)E，AB=AD．
（1）求證：AC平分∠BCD；
（2）如圖2，連接CO，若∠CAD=2∠OCB，求證：BD=BC；
（3）在（2）的條件下，如圖3，BR⊥AC交AC于點(diǎn)R，tan∠ACD=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，AR=1，求CD長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，連接DO，延長(zhǎng)CO交BD于F，設(shè)∠BCO=x°，則∠DBC=∠CAD=2∠BCO=2x°，由已知條件得到∠DOC=2∠DBC=4x°，∠DFC=∠DBC+∠BCF=3x°，根據(jù)角的和差得到∠BDO=∠DOC-∠DFC=4x-3x=x°，等量代換得到∠BCD=∠BDC，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）作BF⊥AD于F，推出△FBA≌△RBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FA=RA=1，解直角三角形得到tan∠ACB═$\frac{\sqrt{7}}{3}$，設(shè)BF=$\sqrt{7}$a，F(xiàn)D=3a，得到AB=AD=3a-1，根據(jù)勾股定理列方程得到AB=AD=8，BC=BD=12，延長(zhǎng)CD至K，使DK=BC，連接AK，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∴∠ACB=∠ACD；

（2）如圖2，連接DO，延長(zhǎng)CO交BD于F，
設(shè)∠BCO=x°，則∠DBC=∠CAD=2∠BCO=2x°，
∴∠DOC=2∠DBC=4x°，∠DFC=∠DBC+∠BCF=3x°，
∴∠BDO=∠DOC-∠DFC=4x-3x=x°，
∴∠BCO=∠BDO，
∵DO=CO，
∴∠OCD=∠ODC，
∠BCO+∠OCD=∠BDO+∠ODC，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=CD；

（3）如圖3，作BF⊥AD于F，
∵∠BDC=∠BCD，∠BDC=∠BAC，
∴∠BCD=∠BAC，
∵∠BCD+∠BAD=∠BAD+∠BAF=180°，
∴∠BCD=∠BAF，
在△FBA與△RBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠BAF}\\{∠BFA=∠BRA}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△FBA≌△RBA，
∴FA=RA=1，
∵∠BDA=∠BCA，tan∠ACB=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴tan∠ACB═$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴設(shè)BF=$\sqrt{7}$a，F(xiàn)D=3a，
∴AB=AD=3a-1，
∴AB²=AF²+BF²，a=3，AB=AD=8，BC=BD=12，
延長(zhǎng)CD至K，使DK=BC，連接AK，
則△ABC≌△ADK，AC=10，
作AT⊥CK，
∵AC=AK，
∴CK=2CT，
CT=AC•cos∠ACD=7.5，
∴CD=CK-DK=15-12=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．