Question

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=12，BD=16，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BD上移動(dòng)，若△POE為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)P共有________個(gè)．

Answer 1

4
分析：首先可以確定的P點(diǎn)有3個(gè)：①以O(shè)為圓心OE為半徑作圓，與BD交于兩點(diǎn)，都符合P點(diǎn)的要求；②連接OE，OE的中垂線交BD于一點(diǎn)，此點(diǎn)也符合P點(diǎn)要求；
然后連接OE，過E作OD的垂線EF，易得EF是△AOD的中位線，結(jié)合菱形的性質(zhì)可證得EF垂直平分OD，因此OE=DE，即D點(diǎn)也符合P點(diǎn)的要求，所以共有4個(gè)點(diǎn)P．
解答：如圖①，首先可以確定的P點(diǎn)有三個(gè)：
一、以O(shè)為圓心OE為半徑作圓，⊙O交BD于P₁、P₂；
二、連接OE，作OE的垂直平分線，交BD于P₃；
如圖②，連接OE，過E作EF⊥OD于F；
由于四邊形ABCD是菱形，故AO⊥OD，即EF∥AO；
又∵E是AD中點(diǎn)，
∴F是OD的中點(diǎn)，
∴EF是△AOD的中位線，
即EF垂直平分OD，
∴OE=DE，故D點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求；
綜上所述，符合條件的P點(diǎn)有4個(gè)．

故答案為4．
點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，由于等腰三角形的腰和底不確定，一定要分類討論，以免漏解．