Question

14．如圖1，PQ為⊙O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=1，動點A在圓O的上半圓運動（含P，Q兩點），設∠AOB=α．
（1）當α=60°時，判斷線段AB所在的直線與圓O的位置關系，并說明理由；
（2）當線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，求α的范圍（直接寫出答案）；
（3）當線段AB與圓O有兩個公共點A，M時（如圖2），若AM=1，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AQ，證明△OAQ是等邊三角形，得出∠OAQ=∠AQO=60°，AQ=OQ，證出AQ=QB，由三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠BAQ=$\frac{1}{2}$∠AQO=30°，求出∠OAQ=90°，即可得出結(jié)論；
（2）當點A在Q點時，易得α=0°，當點A為切點，由（1）得α=60°，于是可判斷線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，0≤α≤60°．
（3）連接OM，證明△AOM是等邊三角形，得出∠AOM=60°，作ON⊥AB于N，則AN=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$，求出ON=$\sqrt{3}$AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，陰影部分的面積=扇形AOM的面積-△AOM的面積，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）線段AB所在的直線與圓O相切；理由如下：
連結(jié)AQ，如圖1所示：
∵∠AOB=α=60°，OA=OQ，
∴△OAQ是等邊三角形，
∴∠OAQ=∠AQO=60°，AQ=OQ，
∵OQ=QB，
∴AQ=QB，
∴∠B=∠BAQ=$\frac{1}{2}$∠AQO=30°，
∴∠OAQ=60°+30°=90°，
∴線段AB所在的直線與圓O相切；
（2）當點A在Q點時，α=0°，
當點A為線段AB的所在的直線與⊙O相切時切點，
由（1）得α=60°，
所以當線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，0≤α≤60°．
（3）連接OM，如圖2所示：
∵AM=1，OQ=OA=1，
∴△AOM是等邊三角形，
∴∠AOM=60°，
作ON⊥AB于N，
則AN=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$，
∴ON=$\sqrt{3}$AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴陰影部分的面積=扇形AOM的面積-△AOM的面積=$\frac{60•π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關問題．也考查了扇形的面積公式．