Question

1．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=60°，E為直線BD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B和點(diǎn)D重合），直線CE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°與直線AD相交于點(diǎn)F，連接EF．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，∠CEF=60度；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在BD延長線上時(shí)，試判斷∠DEF+∠DFE與∠CEF度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖③，若四邊形ABCD為平行四邊形，∠DBC=∠DCB=45°，E為直線BD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B和點(diǎn)D重合），射線CE繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°與直線AD相交于點(diǎn)F，連接EF，探究∠DEF+∠DFE與∠CEF度數(shù)之間的關(guān)系．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)可以得出△BCE≌△DCF，就可以得出CE=CF，得出△ECF是等邊三角形，就可以得出結(jié)論；
（2）先由等式的性質(zhì)可以得出∠BCE=∠DCF，由菱形的性質(zhì)就可以得出△BCE≌△DCF，就有CE=CF，得出△ECF是等邊三角形，就可以得出∠CEF=60°，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）結(jié)論：∠DEF+∠DFE=3∠CEF或∠DEF+∠DFE=∠CEF．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的延長線上或線段DB的延長線上時(shí)，由等式的性質(zhì)可以得出∠BCE=∠DCF，由平行四邊形的性質(zhì)就可以得出△BCE∽△DCF，就有$\frac{BC}{DC}=\frac{CE}{CF}$，就可以得出△BCD∽△ECF，求出∠DBC=∠FEC，從而得出結(jié)論．②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，如圖4中，同理可證∠FEC=45°，由∠ADB=∠DEF+∠DFE=45°，推出∠DEF+∠DFE=∠FEC．

解答 解：（1）如圖①∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠A=∠BCD=60°，AD∥BC，
∴∠CDF=∠BCD=60°，△BDC是正三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠DBC=∠CDF．∠BDF=120°．
∵∠ECF=60°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD-∠ECD=∠ECF-∠ECD，
∴∠BCE=∠DCF．
在△BCE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠CDF}\\{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴CE=CF．
∵∠ECF=60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴∠CEF=60°．
故答案為：60；
（2）∠DEF+∠DFE=2∠CEF；
理由：如圖②，∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠A=∠BCD=60°，AD∥BC，
∴∠CDF=∠BCD=60°，△BDC是正三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠DBC=∠CDF．∠BDF=120°．
∵∠ECF=60°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD+∠ECD=∠ECF+∠ECD，
∴∠BCE=∠DCF．
在△BCE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠CDF}\\{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴CE=CF．
∴△CEF是等邊三角形，
∴∠CEF=60°．
∵∠DEF+∠DFE=∠BDF=120°，
∴∠DEF+∠DFE=2∠CEF；
（3）結(jié)論：∠DEF+∠DFE=3∠CEF或∠DEF+∠DFE=∠CEF．
理由：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD的延長線上或線段DB的延長線上時(shí)，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠FDC=∠BCD．
∵∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠BDC=90°．
∴∠FDC=45°．
∴∠FCE=∠DBC．
∵∠ECF=45°，
∴∠BCD=∠ECF，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECF+∠DCE，
∴∠BCE=∠DCF．
∴△BCE∽△DCF，
∴$\frac{BC}{DC}=\frac{CE}{CF}$，
∴△BCD∽△ECF，
∴∠DBC=∠FEC，
∴∠FEC=45°．
∵∠DEF+∠DFE=∠BDF=135°
∴∠DEF+∠DFE=3∠CEF．
②當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，如圖4中，同理可證∠FEC=45°，

∵∠ADB=∠DEF+∠DFE=45°，
∴∠DEF+∠DFE=∠FEC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵，注意最后一個(gè)問題有兩種情形．