Question

一節(jié)數學課后，老師布置了一道課后練習題：如圖6，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點O，點P，D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E.求證：△BPO≌△PDE．

理清思路，完成解答.

本題證明的思路可用下列框圖表示：

根據上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程．

（2）特殊位置，證明結論.

若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據AAS證△BPO≌△PDE即可；

（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；

（3）設OP=CP=x，求出AP=3x，CD=x，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：∵PB=PD，

∴∠2=∠PBD，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠C=45°，

∵BO⊥AC，

∴∠1=45°，

∴∠1=∠C=45°，

∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，

∴∠3=∠4，

∵BO⊥AC，DE⊥AC，

∴∠BOP=∠PED=90°，

在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）證明：由（1）可得：∠3=∠4，

∵BP平分∠ABO，

∴∠ABP=∠3，

∴∠ABP=∠4，

在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），

∴AP=CD．

（3）【解析】
CD′與AP′的數量關系是CD′=AP′．

理由是：設OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，

則AP=2x+x=3x，

由△OBP≌△EPD，得BO=PE，

PE=2x，CE=2x-x=x，

∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，

∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，

即AP=3x，CD=x，

∴CD′與AP′的數量關系是CD′=AP′

考點：全等三角形的判定與性質．