Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=，點B的坐標(biāo)為（m，-2），tan∠AOC=．
（1）求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式；
（2）求三角形ABO的面積；
（3）在y軸上存在一點P，使△PDC與△CDO相似，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）過A作AE⊥x軸于E，
tan∠AOE=，
∴OE=3AE，
∵OA=，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐標(biāo)為（3，1），
∵A點在雙曲線上y=上，
∴1=，
∴k=3，
∴雙曲線的解析式y(tǒng)=；
∵B（m，-2）在雙曲y=上，
∴-2=，
解得：m=-，
∴B的坐標(biāo)是（-，-2），
代入一次函數(shù)的解析式得：，
解得：，
則一次函數(shù)的解析式為：y=x-1；

（2）連接BO，
∵一次函數(shù)的解析式為：y=x-1；
∴D（0，-1），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=×DO×3+×DO×=×1×3+×1×=；

（3）過點C作CP⊥AB，交y軸于點P，
∵C，D兩點在直線y=x-1上，
∴C，D的坐標(biāo)分別是：C（，0），D（0，-1）．
即：OC=，OD=1，
∴DC=．
∵△PDC∽△CDO，
∴=，
∴PD=，
又∵OP=DP-OD=-1=，
∴P點坐標(biāo)為（0，）．
分析：（1）過A作AE⊥x軸于E，由tan∠AOE=，得到OE=3AE，根據(jù)勾股定理即可求出AE和OE的長，即得到A的坐標(biāo)，代入雙曲線即可求出k的值，得到解析式；把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求出B的坐標(biāo)，把A和B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．
（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式算出D點坐標(biāo)，可以得到OD的長，S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，代入相應(yīng)數(shù)值可得答案；
（3）過點C作CP⊥AB，交y軸于點P，因為在y軸上存在一點P，使得△PDC與△ODC相似，∠PDC和∠ODC是公共角，∠PCD=∠COD=90°，所以有△PDC∽△CDO，=而點C、D分別是一次函數(shù)y=x-1的圖象與x軸、y軸的交點，因此有C（ ，0）、D（0，-1）．OC=，OD=1，DC=進(jìn)而可求出PD=，OP=．寫出點P的坐標(biāo)．
點評：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上與坐標(biāo)軸的交點，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式．