Question

在△ABC中，∠C=90°，斜邊AB=10，直角邊AC、BC的長分別是關(guān)于x的方程x²-mx+3m+6=0的兩個實(shí)根，則sinA+sinB+sinA•sinB=________．

Answer 1

分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到AC+BC=m，AC•BC=3m+6，再利用勾股定理得AC²+BC²=AB²=100，變形后有（AC+BC）²-2AC•BC=100，可得到m的方程m²-2（3m+6）=100，然后解方程得到得m₁=14，m₂=-8（舍去），則AC+BC=14，AC•BC=3m+6=48，再根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sinA=，sinB=，則sinA+sinB+sinA•sinB=+，然后整體代入計算即可．
解答：如圖，
∵AC、BC的長分別是關(guān)于x的方程x²-mx+3m+6=0的兩個實(shí)根，
∴AC+BC=m，AC•BC=3m+6，
而AC²+BC²=AB²=100，
∴（AC+BC）²-2AC•BC=100，即m²-2（3m+6）=100，解得m₁=14，m₂=-8（舍去）．
∴AC+BC=14，AC•BC=3m+6=48，
∵sinA=，sinB=，
∴sinA+sinB+sinA•sinB=+=+=．
故答案為．
點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形：利用三角函數(shù)的定義和勾股定理求出三角形中未知的角和邊．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．