Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+x+c的圖象與x軸交于點A、B兩點，且A點坐標為（-2，0），與y軸交于點C（0，3）．
（1）求出這個二次函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出點B的坐標為________；
（3）在x軸是否存在一點P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由；
（4）在第一象限中的拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形ABQC的面積最大？若存在，請求出Q點坐標及面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²+x+c的圖象經(jīng)過A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，a=-，
∴所求解析式為：y=-x²+x+3，
答：這個二次函數(shù)的解析式是y=-x²+x+3．

（2）解：（6，0），
故答案為：（6，0）．

（3）解：在Rt△AOC中，
∵AO=2，OC=3，∴AC=，
，①當P₁A=AC時（P₁在x軸的負半軸），P₁（-2-，0）；
②當P₂A=AC時（P₂在x軸的正半軸），P₂（-2，0）；
③當P₃C=AC時（P₃在x軸的正半軸），P₃（2，0）；
④當P₄C=P₄A時（P₄在x軸的正半軸），
在Rt△P₄OC中，設(shè)P₄O=x，則（x+2）²=x²+3²
解得：x=，
∴P₄（，0）；
答：在x軸存在一點P，使△ACP是等腰三角形，滿足條件的P點坐標是（-2-，0）或（-2，0）或（2，0）或（，0）．

（4）解：如圖，設(shè)Q點坐標為（x，y），因為點Q在y=-x²+x+3上，
即：Q點坐標為（x，-x²+x+3），
連接OQ，
S_{四邊形ABQC}=S_△AOC+S_△OQC+S_△OBQ，
=3+x+3（-x²+x+3）
=-x²+x+12，
∵a＜0，
∴S_{四邊形ABQC最大值}=，
Q點坐標為（3，），
答：在第一象限中的拋物線上存在一點Q，使得四邊形ABQC的面積最大，Q點坐標是（3，），面積的最大值是．
分析：（1）因為y=ax²+x+c的圖象經(jīng)過A（-2，0），C（0，3），代入求出c、a的值，即可得到答案；
（2）把y=0代入求出x的值，即可得到答案；
（3）在Rt△AOC中根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，①當P₁A=AC時（P₁在x軸的負半軸），P₁（-2-，0）；②當P₂A=AC時（P₂在x軸的正半軸），P₂（-2，0）；③當P₃C=AC時（P₃在x軸的正半軸），P₃（2，0）；④當P₄C=P₄A時（P₄在x軸的正半軸），P₄（，0），即可得出答案；
（4）設(shè)Q點坐標為（x，y），因為點Q在y=-x²+x+3上，得出Q點坐標為（x，-x²+x+3），連接OQ，根據(jù)S_{四邊形ABQC}=S_△AOC+S_△OQC+S_△OBQ，代入求出即可．
點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．題型較好，綜合性強．