Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，現(xiàn)有兩個動點P、Q分別從B、D兩點同時出發(fā)，點P以每秒2cm的速度沿BC向終點C移動，點Q以每秒1cm的速度沿DA向終點A移動，線段PQ與BD相交于點E，過E作EF∥BC交CD于點F，射線QF交BC的延長線于點H，設(shè)動點P、Q移動的時間為t（單位：秒，0＜t＜10）．
（1）當t為何值時，四邊形PCDQ為平行四邊形？
（2）在P、Q移動的過程中，線段PH的長是否發(fā)生改變？如果不變，求出線段PH的長；如果改變，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，BC=20cm，AD=10cm，點P、Q分別從B、D兩點同時出發(fā)，點P以每秒2cm的速度沿BC向終點C移動，點Q以每秒1cm的速度沿DA向終點A移動，
∴DQ=t，PC=20-2t，
∵若四邊形PCDQ為平行四邊形，則DQ=PC，
∴20-2t=t，
解得：t=；

（2）線段PH的長不變，
∵AD∥BH，P、Q兩點的速度比為2：1，
∴QD：BP=1：2，
∴QE：EP=ED：BE=1：2，
∵EF∥BH，
∴ED：DB=EF：BC=1：3，
∵BC=20，
∴EF=，
∴==，
∴PH=20cm．
分析：（1）如果四邊形PCDQ為平行四邊形，則DQ=CP，根據(jù)P、Q兩點的運動速度，結(jié)合運動時間t，求出DQ、CP的長度表達式，解方程即可；
（2）PH的長度不變，根據(jù)P、Q兩點的速度比，即可推出QD：BP=1：2，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20．
點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和梯形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于求得DQ和PC的長度表達式，推出DQ和PC的長度比為1：2．