Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是

AC

的中點，DE⊥AB，垂足為E，AC分別與DE、DB相交于點F、G．求證：
（1）DF=FG；
（2）AF=FG；
（3）當(dāng)D為

ABC

中點時，上述兩個結(jié)論是否還成立？若成立，請證明．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）連接AD，延長DE交⊙O于M，如圖1，根據(jù)垂徑定理得

AD

=

AM

，而D是

AC

的中點，則

AD

=

AM

=

CD

，根據(jù)圓周角定理得到∠3=∠B，再由AB為直徑，
得到∠ADB=90°，所以∠3+∠AGD=90°，易得∠1=∠AGD，所以DF=FG；
（2）根據(jù)圓周角定理由

AD

=

AM

=

CD

得到∠3=∠2，則AF=FG；
（3）連接AD，延長DE交⊙O于M，如圖2，根據(jù)垂徑定理由DE⊥AB得到

AD

=

AM

，則有

AD

=

AM

=

CD

，于是根據(jù)圓周角定理得到∠CAD=∠ADM，所以FA=FD；
再由三角形外角性質(zhì)得∠ABD=∠G+∠BAC，由

AD

=

CD

得∠ABD=∠CAD=∠BAC+∠DAB，所以∠G=∠BAD，然后利用

BD

=

BM

得到∠BDM=∠BAD，所以∠BDM=∠G，于是可判斷FD=FG．

解答：證明：（1）連接AD，延長DE交⊙O于M，如圖1，
∵DE⊥AB，
∴

AD

=

AM

，
∵D是

AC

的中點，
∴

AD

=

AM

=

CD

，
∴∠3=∠B，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠3+∠AGD=90°，
∵∠B+∠1=90°，
∴∠1=∠AGD，
∴DF=FG；
（2）∵

AD

=

AM

=

CD

，
∴∠3=∠2，
∴AF=FG；
（3）上述兩個結(jié)論成立．
連接AD，延長DE交⊙O于M，如圖2，
∵DE⊥AB，
∴

AD

=

AM

，
∵D是

ABC

的中點，
∴

AD

=

AM

=

CD

，
∴∠CAD=∠ADM，
∴FA=FD；
∵∠ABD=∠G+∠BAC，
而

AD

=

CD

，
∴∠ABD=∠CAD=∠BAC+∠DAB，
∴∠G=∠BAD，
∵

BD

=

BM

，
∴∠BDM=∠BAD，
∴∠BDM=∠G，
∴FD=FG．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．