Question

1．已知拋物線C₁：y=x²-4x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，平移直線BC，至PQ，點P在對稱軸上，點Q在第一象限的拋物線上，且CP=QB，求Q點的坐標．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)解析式可以求得點A、B、C三點的坐標及對稱軸的值，從而可得點Q的坐標，由點P在對稱軸上，點Q在第一象限的拋物線上，且CP=QB，可以求得點Q的坐標，從而可以解答本題．

解答 解：∵y=x²-4x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，
∴y=0時，x=1或x=3；x=0時，y=3；對稱軸為：x=$-\frac{-4}{2×1}=2$．
∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3）．
∵點P在對稱軸上，點Q在第一象限的拋物線上，
∴設點P的坐標為（2，y），點Q的坐標為（x，x²-4x+3）．
∵CP=QB，
∴$\sqrt{（2-0）^{2}+（y-3）^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+（{x}^{2}-4x+3-0）^{2}}$①．
∵平移直線BC，至PQ，
∴BC∥PQ．
∴$\frac{3-0}{0-3}=\frac{{x}^{2}-4x+3-y}{x-2}$②．
由①②解得，x=2+$\sqrt{3}$或x=2-$\sqrt{3}$或x=5．
∴當x=2+$\sqrt{3}$時，x²-4x+3=2；當x=2-$\sqrt{3}$時，x²-4x+3=2；當x=5時，x²-4x+3=8．
即點Q的坐標為（2+$\sqrt{3}$，2）或（2-$\sqrt{3}$，2）或（5，8）．

點評 本題考查坐標與圖象的性質，解題的關鍵是可以求出各點的坐標，根據(jù)條件可以列出相應的方程，會解方程組．