Question

如圖所示，反比例函數(shù)y=

1

x

和一次函數(shù)y=2x-k，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）利用（2）的結(jié)果，請(qǐng)問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△OPA為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把過(guò)一次函數(shù)的點(diǎn)代入一次函數(shù)，即可求得k；
（2）同時(shí)在這兩個(gè)函數(shù)解析式上，讓這兩個(gè)函數(shù)組成方程組求解即可；
（3）應(yīng)先求出OA的距離，然后根據(jù)：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情況討論解決．

解答：解：（1）將點(diǎn)（2，3）代入一次函數(shù)，得：k=1
所以一次函數(shù)為：y=2x-1；

（2）由

y=2x-1 y= 1 x

，
解得：

x1=1 y1=1

，

x2=- 1 2 y2=-2

，
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（1，1）；

（3）OA=

12+12

=

2

，OA與x軸所夾銳角為45°，
①當(dāng)OA為腰時(shí)，由OA=OP₁得P₁（

2

，0），
由OA=OP₂得P₂（-

2

，0）；
由OA=AP₃得P₃（2，0）．
②當(dāng)OA為底時(shí)，OP₄=AP₄得P₄（1，0）．
∴符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，分別是（

2

，0），（-

2

，0），（2，0），（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合，在這條直線上的各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合這條直線的解析式．同時(shí)在兩個(gè)函數(shù)解析式上，應(yīng)是這兩個(gè)函數(shù)解析式的公共解．答案較多時(shí)，應(yīng)有規(guī)律的去找不同的解．