Question

20．如圖，四邊形ABCD中，設(shè)∠A=α，∠D=β，∠P為四邊形ABCD的內(nèi)角∠ABC與外角∠DCE的平分線所在直線相交而形成的銳角．

①如圖1，若α+β＞180°，求∠P的度數(shù)．（用α、β的代數(shù)式表示）
②如圖2，若α+β＜180°，請在圖③中畫出∠P，并求得∠P=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）．（用α、β的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根據(jù)內(nèi)角與外角的關(guān)系和角平分線的定義得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠PBC+（180°-2∠DCP）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠P，從而得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根據(jù)內(nèi)角與外角的關(guān)系和角平分線的定義得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠GBC+（180°-2∠HCE）=180°+2（∠GBC-∠HCE）=180°+2∠P，從而得出結(jié)論；

解答 解：（1）∵∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCP）=180°-2（∠DCP-∠FBC）=180°-2∠P，
∴360°-（α+β）=180°-2∠P，
2∠P=α+β-180°，
∴∠P=$\frac{1}{2}$（α+β）-90°；

（2）∵∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠GBC+（180°-2∠HCE）=180°+2（∠GBC-∠HCE）=180°+2∠P，
∴360°-（α+β）=180°+2∠P，
∴∠P=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）；
故答案為：90°-$\frac{1}{2}$（α+β）．

點評 本題考查了多邊形內(nèi)角與外角和角平分線的定義，（1）中得出360°-（α+β）=180°-2∠P，（2）中得出360°-（α+β）=180°+2∠P是解題的關(guān)鍵．