Question

7．在形如a^b=N的式子中，我們已經(jīng)研究過兩種情況：已知a和b求N，這是乘方運算：已知b和N求a，這是開方運算，現(xiàn)在我們研究第三種情況：已知a和N求b，我們稱這種運算為對數(shù)運算．
定義：如果2³=8，所以log₂8=3：因為3²=9，所以log₃9=2
根據(jù)以上信息回答下列問題：
（1）計算：log₃81=4，log₃3=1，log₆36=2，log_x16=4，則x=2．
（2）設a^x=M，a^y=N（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0），猜想log_aMN和log_a$\frac{M}{N}$的結(jié)果，并證明．
（3）計算：①log₂（2×4×8×16×32×64）；②log₃$\frac{243}{81}$；③log₉3+log₉27．

Answer 1

分析 （1）利用題中的新定義求出所求式子的值即可；
（2）猜想log_aMN=x+y；log_a$\frac{M}{N}$=x-y，利用新定義證明即可；
（3）各式利用新定義計算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）log₃81=log₃3⁴=4，log₃3=1，log₆36=log₆6²=2，log_x16=4，則x=2；
故答案為：4；1；2；2；
（2）log_aMN=log_aM+log_aN；log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN；
證明：log_aMN=log_aa^x•a^y=log_aa^x+y=x+y；log_aM+log_aN=x+y，
則log_aMN=log_aM+log_aN；
log_a$\frac{M}{N}$=log_a$\frac{{a}^{x}}{{a}^{y}}$=log_aa^x-y=x-y；log_aM-log_aN=x-y，
則log_a$\frac{M}{N}$=log_aM-log_aN；
（3）①原式=log₂2+log₂4+log₂8+log₂16+log₂32+log₂64=1+2+3+4+5+6=21；
②原式=log₃243-log₃81=5-4=1；
③原式=log₉3×27=log₉81=2．

點評 此題考查了整式的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．