Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，四邊形OBHC為矩形，CH的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)D（5，2），連結(jié)BC、AD
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，再沿x軸對(duì)折得到 △BEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為
1∶3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB， 又D（5，2），
        ∴C（0，2），OC=2 . 
        ∴     解得 ；
        ∴拋物線的解析式為： 
 （2）點(diǎn)E落在拋物線上. 理由如下：
      由y = 0，得=0
     解得x₁=1，x₂=4
     ∴A（4，0），B（1，0）. 
     ∴OA=4，OB=1
   由矩形性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，
  由旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱性質(zhì)知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，
   ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-1）.
把x=3代入，y=得，y==-1
    ∴點(diǎn)E在拋物線上；
（3）存在點(diǎn)P（a，0），延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)G，易求OF=CG=3，PB=a-1.
              S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，
           記S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，
下面分兩種情形：
     ①當(dāng)S₁∶S₂ =1∶3時(shí)，，
     此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的左側(cè)， 則PF = 3-a，
    由△EPF∽△EQG，
    得，則QG=9-3a，
    ∴CQ=3-(9-3a) =3a -6 由S₁=2，
     得，解得 ；
     ②當(dāng)S₁∶S₂=3∶1時(shí)，，
    此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的右側(cè)，
    則PF = a-3，由△EPF∽△EQG，
    得QG = 3a-9，∴CQ = 3 +（3 a-9）= 3 a-6，由S₁= 6，
    得，解得 ；
綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，0）或（ ，0）。