Question

如圖，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=9，OC=15，將矩形紙片OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形OA₁B₁C₁．將矩形OA₁B₁C₁折疊，使得點B₁落在x軸上，并與x軸上的點B₂重合，折痕為A₁D．
（1）求點B₂的坐標；
（2）求折痕A₁D所在直線的解析式；
（3）在x軸上是否存在點P，使得∠BPB₁為直角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由條件知，B₂A₁=B₁A₁=BA=15，A₁O=B₁C₁=BC=9，
∴在Rt△A₁OB₂中，
∴點B₂坐標為（12，0）；

（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，則B₁D=9-m，
∵B₁D=B₂D，
∴，
解得m=4，
∴D點的坐標為（15，4），
又A₁（0，9），
設(shè)折痕A₁D所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
即折痕A₁D所在直線的解析式為．

（3）假設(shè)存在P點，
∵∠BPA+∠BPB₁+∠B₁PC₁=180°，∠BPB₁=90°，
∴∠BPA+∠B₁PC₁=90°，
∵∠BAP=90°，∠ABP+∠BPA=90°，
∴∠ABP=∠B₁PC₁．
在△BAP和△PC₁B₁中，，
∴△BAP∽△PC₁B₁．
∴，
∵AB=15，C₁B₁=9，AC₁=24，設(shè)PC₁的長為m，
∴，
解得m₁=15或m₂=9．
經(jīng)檢驗m₁=15或m₂=9是方程的兩根，
當PC₁=15時，P點坐標為（0，0）；
當PC₁=9時，P點坐標為（6，0）．
綜上所述，P點坐標為（0，0），（6，0）．
分析：（1）根據(jù)Rt△A₁OB₂中，，可得點B₂坐標為（12，0）；
（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，則B₁D=9-m，因為B₁D=B₂D，所以，解得m=4，即D點的坐標為（15，4），設(shè)折痕A₁D所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法可解得，折痕A₁D所在直線的解析式為；
（3）假設(shè)存在P點，可證明△BAP∽△PC₁B₁，得，設(shè)PC₁的長為m，所以，解得m₁=15或m₂=9，故當PC₁=15時，P點坐標為（0，0）；當PC₁=9時，P點坐標為（6，0）．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象上點的意義和相似三角形的性質(zhì)來表示相應(yīng)的線段之間的關(guān)系，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會．