Question

14．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，DE⊥AC于E，AB=4，AC=6，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 作DF⊥AB于F，如圖，根據(jù)圓周角定理由$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$得∠BAD=∠CADDB=DC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DF=DE，接著利用“HL”證明Rt△DBF≌Rt△DCE得BF=CE，證明Rt△DAF≌Rt△DAE得AF=AE，則有AB+BF=AC-CE，然后計(jì)算CE的長(zhǎng)．

解答 解：作DF⊥AB于F，如圖，
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴DB=DC，∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DE，
在Rt△DBF和Rt△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DC}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBF≌Rt△DCE，
∴BF=CE，
在Rt△DAF和Rt△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAF≌Rt△DAE，
∴AF=AE，
即AB+BF=AC-CE，
∴4+CE=6-CE，
∴CE=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建全等三角形．