Question

如圖，⊙O的直徑AB=10，C、D是圓上的兩點(diǎn)，且

AC

=

CD

=

DB

，設(shè)過(guò)點(diǎn)D的切線ED交AC于點(diǎn)F，連接OC交AD于點(diǎn)G．
（1）求證：DF⊥AF；
（2）求OG的長(zhǎng)；
（3）求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）連接OD，根據(jù)

AC

=

CD

=

DB

，可得∠CAD=∠DAB=30°，從而可得AF∥DO，則∠AFD=90°；
（2）根據(jù)垂徑定理可得OG垂直平分AD，繼而可判斷OG是△ABD的中位線，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG．
（3）根據(jù)S_陰影=S_扇形-S_△ADF即可求得．

解答：解：（1）連接OD，則OD⊥EF，
∵

AC

=

CD

=

DB

，
∴∠CAD=∠DAB=30°，
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠FAD=∠ADO，
∴AF∥DO，
∴DF⊥AF．
（2）連接BD，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10，
∴BD=5，
∵

AC

=

CD

，
∴OG垂直平分AD，
∴OG是△ABD的中位線，
∴OG=BD=

5

2

．
（3）連接CD，
∵

AC

=

CD

=

DB

，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC=OD=OB，
∴△AOC、△COD、△DOB是等邊三角形，
∴AC=CD=OA=

1

2

AB=5，
∵ED是⊙O的切線，
∴∠CDF=∠DAC=30°，
∵DF⊥AF，
∴CF=

1

2

AB=

5

2

，DF=

3

2

AB=

5 3

2

，
∴AF=AC+CF=5+

5

2

=

15

2

∴S_陰影=S_扇形-S_△ADF=

120π×52

360

-

1

2

×

15

2

×

5 3

2

=

25π

3

-

75 3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理以及扇形的面積等知識(shí)，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握各定理的內(nèi)容及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．