Question

14．如圖，E為等腰直角△ABC的邊AB上的一點，要使AE=3，BE=1，P為AC上的動點，則PB+PE的最小值為5．

Answer 1

分析 作點B關于AC的對稱點F，構建直角三角形，根據最短路徑可知：此時PB+PE的值最小，接下來要求出這個最小值，即求EF的長即可，因此要先求AF的長，證明△ADF≌△CDB，可以解決這個問題，從而得出EF=5，則PB+PE的最小值為5．

解答 解：如圖，過B作BD⊥AC，垂足為D，并截取DF=BD，連接EF交AC于P，連接PB、AF，則此時PB+PE的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，AD=DC，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵∠ADF=∠CDB，
∴△ADF≌△CDB，
∴AF=BC，∠FAD=∠C=45°，
∵AE=3，BE=1，
∴AB=BC=4，
∴AF=4，
∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°，
∴由勾股定理得：EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵AC是BF的垂直平分線，
∴BP=PF，
∴PB+PE=PF+PE=EF=5，
故答案為：5．

點評 本題考查了等腰直角三角形和軸對稱的最短路徑問題，要先找到符合條件的點P，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線AC的對稱點，對稱點與另一點的連線與AC的交點就是所要找的點．再構造直角三角形利用勾股定理解決．