Question

已知函數(shù)y=mx²－6x＋1（m是常數(shù)）．

⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；

⑵若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明詳見解析；（2）0或9．

【解析】

試題分析：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)或一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，是典型的分類討論思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)解析式可知，當(dāng)x=0時(shí)，與m值無關(guān)，故可知不論m為何值，函數(shù)y=mx2-6x+1的圖象都經(jīng)過y軸上一個(gè)定點(diǎn)（0，1）．（2）應(yīng)分兩種情況討論：①當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解答．

試題解析：

解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1．

∴不論m為何值，函數(shù)y=mx²-6x+1的圖象都經(jīng)過y軸上一個(gè)定點(diǎn)（0，1）；

（2）①當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

②當(dāng)m≠0時(shí)，若函數(shù)y=mx²-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程mx²-6x+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

所以△=（-6）²-4m=0，m=9．

綜上，若函數(shù)y=mx²-6x+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為0或9．

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．