Question

19．拋物線(xiàn)y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)P，使△ABC的面積等于△ACP的面積；
（2）在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)M，使△MAO的面積等于△COM的面積，若次拿在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出過(guò)點(diǎn)B平行AC的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求．
（2）由題意可知點(diǎn)M在一、三象限的角平分線(xiàn)上，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意A（-2，0），B（4，0），C（0，2），
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=x+2，
過(guò)點(diǎn)B平行AC的直線(xiàn)的解析式為y=x+b，把B（4，0）代入得到b=-4，
∴y=x-4，
直線(xiàn)y=x-4與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$交點(diǎn)$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-10}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P（-6，-10）．

（2）由題意可知點(diǎn)M在一、三象限的角平分線(xiàn)上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{17}}\\{y=-3-\sqrt{17}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{17}}\\{y=-3+\sqrt{17}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3+$\sqrt{17}$，-3-$\sqrt{17}$）或（3-$\sqrt{17}$，-3+$\sqrt{17}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的面積問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考常考題型．