Question

如圖，在△ABC中，AD為BC邊中線，作CE⊥AC于C，交AD延長線于點E，過點B作BF∥CE交AD于點F．
（1）求證：DE=DF；
（2）若AD=DE+2BD，∠ABC=∠DCE+∠BAC，求證：
①AD⊥BC；
②CE=（

2

-1）AB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AD是△ABC的中線就可以得出BD=CD，再由平行線的性質(zhì)就可以得出△CDE≌△BDF就可以得出DE=DF．
（2）①作FM∥AC交AB于M，延長BF交AC于N，延長CD交AB于G，根據(jù)已知條件和平行線的性質(zhì)求得∠MFB=90°AN=BN，然后根據(jù)HL求得RT△AND≌RT△BNC，求得∠NAD=∠CBN，進(jìn)而求得∠DFB+∠NBC=90°，進(jìn)而求得AD⊥BC；
②先求得△MFB是等腰直角三角形，得出FM=FB，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AB=AC，進(jìn)而求得∠DAB=∠DAC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠AFM=∠DAB，得出AM=FM=BF，根據(jù)ASA求得△CDE≌△BDF得出CE=BF，進(jìn)而求得AM=CE，BM=

2

CE，即可求得結(jié)論．

解答：證明：∵AD是BC的中線，
∴BD=CD．
∵BF∥CE，
∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB．
在△CDE和△BDF中

∠ECD=∠FBD ∠DEC=∠DFB CD=BD

，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
∴DE=DF．

（2）作FM∥AC交AB于M，延長BF交AC于N，延長CD交AB于G，
∴∠MFB=∠ANB，
∵BF∥EC，
∴∠ANB=∠ACE=90°，
∴∠MFB=∠ACE=90°，
∵AD=DE+2BD，
∵BD=DC，DE=DF，
∴AF=BC，
∵∠CAB=∠NBA，
∵∠ABC=∠DCE+∠BAC，∠FBC=∠ECB，
∴∠ABN=∠BAC，
∵AN=BN，
在RT△AND與RT△BNC中，

AF=CB AN=NB

，
∴RT△AND≌RT△BNC（HL），
∴∠NAD=∠CBN，
∵∠NFA=∠DFB，∠NFA+∠NAD=90°，
∴∠DFB+∠NBC=90°，
∴∠FDB=90°，
∴AD⊥BC，
②∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠DAB=∠DAC，
∵FM∥AC，
∴∠CAD=∠AFM，
∴∠AFM=∠DAB，∠DNB=∠CAB=45°
∴AM=FM=BF，
在△CDE與△BDF中，

∠FBC=∠ECB CD=BD ∠CDE=∠BDF

∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，
∵在等腰直角三角形MFB中，MB=

2

BF=

2

CE，∴AB=AM+MB=CE+

2

CE=（1+

2

）CE，
∴CE=（

2

-1）AB．

點評：本題考查了三角形的中線的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．