Question

在正方形ABCD 的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB 交 BD 于點 F，取FD 的中點G，連接EG、CG，如圖①，易證 EG=CG，且EG⊥CG。
（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖②，則線段EG和 CG 有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想。
（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖③，則線段 EG 和 CG 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明。

Answer 1

解：（1）EG= CG，且EG⊥CG
如圖⑤
（2）EG= CG，且EG⊥CG
證明：延長 FE交DC延長線于M，連MG
∵∠AEM= 90°，∠EBC=.90°，∠BCM= 90°
∴四邊形 BEMC是矩形
∴BE= CM，∠EMC= 90°
又∵BE= EF 
∴EF=CM
∵∠EMC= 90°，F(xiàn)G=DG，
∴MG=FD=FG
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°，
又∵FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°
∴∠F=∠GMC，
∴△GFE≌△GMC
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
即∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG