Question

已知拋物線y＝ax²－2ax＋c－1的頂點(diǎn)A在直線y＝－x＋8上，與x軸交于B(α，0)、C(β，0)兩點(diǎn)，其中α＜β，且α²＋β²＝10，求拋物線的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵－＝1，＝c－1－a， 　　∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，c－1－a)， 　　∵點(diǎn)A在直線y＝－x＋8上， 　　∴c－1－a＝，即c＝a＋，① 　　又∵拋物線與x軸交于B(α，0)、C(β，0)兩點(diǎn)， 　　∴α、β是方程ax2－2ax＋c－1＝0的兩個(gè)根， 　　∴α＋β＝2，αβ＝． 　　∵α2＋β2＝10，即(α＋β)2－2αβ＝10， 　　∴4－2×＝10，即c＝1－3a．② 　　由①、②得a＝－，c＝5， 　　∴y＝－x2＋x＋4． 　　又△＝()2－4×(－)×4＞0，符合題意， 　　∴所求拋物線解析式為y＝－x2＋x＋4． 　　分析：拋物線表達(dá)式有兩個(gè)待定系數(shù)，需有兩個(gè)獨(dú)立的條件，我們可由已知拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝x＋8上確定a和c的第一個(gè)關(guān)系式，再由它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)α、β的平方和等于10建立a和c的第二個(gè)關(guān)系式，解出a、c，拋物線的解析式便確定了． 　　點(diǎn)評(píng)：此題不是直接給定圖像上的兩個(gè)點(diǎn)或x、y的兩組對(duì)應(yīng)值確定函數(shù)解析式的，而是根據(jù)題意運(yùn)用方程思想探求到待定系數(shù)間的兩個(gè)等量關(guān)系，通過(guò)求解方程組確定待定數(shù)的，其中用到的數(shù)學(xué)知識(shí)有：一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，根的判別式．