Question

13．如圖，一拋物線過原點和點A（1，$\sqrt{3}$），△AOB的面積為$\sqrt{3}$．
（1）求過點A、O、B的拋物線解析式．
（2）在（1）中拋物線的對稱軸上找到一點M，使△AOM的周長最�。�
①點M的坐標是（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
②求△AOM周長的最小值．
（3）點F為x軸上一動點，過點F作x軸的垂線，交直線AB于點E，交拋物線于點P，是否存在點F，使線段PE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$？若存在，直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過A作AC⊥x軸于點C，由△AOB的面積可求得BO的長，可求得B點坐標，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）①設AB于對稱軸交于點M，則M點即為滿足條件的點，可求得直線AB的解析式，可求得M坐標；②由勾股定理可求得AB、AO的長，則可求得△AOM的周長的最小值；
（3）可設F點坐標為（x，0），可表示出E、P的坐標，則可用x表示出PE的長，可求得x的值，可求出F的坐標．

解答 解：
（1）過A作AC⊥x軸于點C，如圖1，

∵A（1，$\sqrt{3}$），
∴AC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$BO•AC=$\frac{1}{2}$BO×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴BO=2，
∴B（-2，0），
由題意可設拋物線解析式為y=ax²+bx，
把A、B坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\sqrt{3}}\\{4a-2b=0}\end{array}\right.$，可解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴過A、B、O三點的拋物線的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x；
（2）由（1）可求得拋物線的對稱軸為x=-1，
設AB交對稱軸于點M，如圖2，

∵B、O關于對稱軸對稱，
∴MO=MB，
∴M點即為所求，
①設直線AB解析式為y=kx+b，
把A、B坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當x=-1時，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴M坐標為（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故答案為：（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
②由勾股定理可求得AB=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，AO=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴△AOM周長的最小值為AM+MO+AO=AB+AO=2$\sqrt{3}$+2；
（3）假設存在滿足條件的點F，設其坐標為（x，0），
則E（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），P（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x），如圖3，

則PE=PF-EF=|（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x）-（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）|=|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|，
若PE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，解得x=0或x=1，當x=0時，P點和F點重合，滿足條件；
當x=1時，此時P、E重合，不滿足條件，
∴此時F為（0，0），
∴存在滿足條件的F點，其坐標為（0，0）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱性質(zhì)的應用、勾股定理和函數(shù)圖象的交點等．在（1）中求得B點的坐標是解題的關鍵，在（2）中確定出M點的位置是解題的關鍵，在（3）中設出點F的坐標表示出PE的長是解題的關鍵．本題涉及知識點較多，綜合性較強，難度較大．