Question

已知兩弦AB和CD相交于圓內(nèi)一點P，并且兩弦的夾角被經(jīng)過P點的直徑平分．求證：AB=CD．

Answer 1

考點：垂徑定理,角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：根據(jù)題意畫出圖形，過O分別做AB，CD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE=OF，由HL定理得出△BOE≌△COF，故可得出BE=CF，由垂徑定理即可得出結(jié)論．

解答：證明：如圖所示，過O分別做AB，CD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接OC，OB，
∵OP為∠CPB的角平分線，
∴OE=OF．
在Rt△BOE與Rt△COF中，

OE=OF OB=OC

，
∴△BOE≌△COF（HL），
∴BE=CF．
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
∴CD=2CF，AB=2BE，
∴AB=CD．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．