Question

4．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的象經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點M及點C的坐標(biāo)；
（2）若直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用待定系數(shù)法，求出a、b、c的值各是多少，即可求出這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點M及點C的坐標(biāo)．
（2）首先根據(jù)直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點，求出k、d的值各是多少；然后分別求出CD、AN、AD、CN的值各是多少，判斷出CD=AN，AD=CN，即可證明四邊形CDAN是平行四邊形．

解答 （1）解：∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{4a+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴這個二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴頂點M（1，4），點C（0，3）．

（2）證明：∵直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{k+d=4}\end{array}\right.$，
即k=1，d=3，
∴直線解析式為y=x+3．
令y=0，得x=-3，
∴D（-3，0），
∴CD=3$\sqrt{2}$，AN=3$\sqrt{2}$，AD=2，CN=2，
∴CD=AN，AD=CN，
∴四邊形CDAN是平行四邊形．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法，以及平行四邊形的判定，要熟練掌握．