Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形

ABCD外作等邊三角形ADF，點E是直角梯形ABCD內(nèi)一點，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．
（1）求證：EB=EF；
（2）延長FE交BC于點G，點G恰好是BC的中點，若AB=6，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：∵△ADF為等邊三角形，
∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）
∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）
∵AE為公共邊
∴△FAE≌△BAE（4分）
∴EF=EB（5分）

（2）如圖，連接EC．（6分）
∵在等邊三角形△ADF中，
∴FD=FA，


∵∠EAD=∠EDA=15°，
∴ED=EA，
∴EF是AD的垂直平分線，則∠EFA=∠EFD=30°．（7分）
由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．
∵∠FAE=∠BAE=75°，
∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，
∴BE=BA=6．
∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，
∴∠GEB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠GBE=30°
∴GE=GB．（8分）
∵點G是BC的中點，
∴EG=CG
∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，
∴△CEG為等邊三角形，
∴∠CEG=60°，
∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）
∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC²=CE²+BE²
∴CE=2

3

，
∴BC=4

3

（10分）；

解法二：過C作CQ⊥AB于Q，
∵CQ=AB=AD=6，
∵∠ABC=60°，
∴BC=6÷

3

2

=4

3

．