Question

已知∠AOB=30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，OP=a，若OA上有一動(dòng)點(diǎn)M，OB上有一動(dòng)點(diǎn)N，則△PMN的最小周長(zhǎng)為

a

．（結(jié)果用含a的式子表示）

Answer 1

分析：作P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)C，作P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交AB于M，交OB于N，則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，連接OC，OD，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)得出CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=a，求出∠COD=60°，得出△COD是等邊三角形，推出CD=OC=OD=a，求出△PMN的周長(zhǎng)的最小值是PM+MN+PN=CD，代入即可得出答案．

解答：
解：作P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)C，作P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交AB于M，交OB于N，
則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小，
連接OC，OD，
∵P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)C，P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)D，
∴CM=PM，PN=ND，∠COE=∠POE，∠POF=∠DOF，OC=OP=OD=a，
∵∠POM+∠PON=∠AOB=30°，
∴∠COD=∠COE+∠POE+∠DOF+∠POF=30°+30°=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=a，
即△PMN的周長(zhǎng)的最小值是PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=a，
故答案為：a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出符合條件的M、N點(diǎn)的位置，題目比較好，但有一定的難度．