Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，a），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，0），且a、b滿足．

（1）求證：∠OAB=∠OBA；
（2）點(diǎn)C為OB的延長線上一點(diǎn)，連接AC，過B作BD⊥AC，連接OD．求證：OD平分∠ADB；
（3）點(diǎn)E，是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，P為AF的延長線上一動(dòng)點(diǎn)，G為BA的延長線上一點(diǎn)，連接PG，且滿足BG=PG+PF，當(dāng)P在AF的延長線上運(yùn)動(dòng)的過程中，∠PEG的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若改變，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵a、b滿足， ∴a+b=4，a﹣2b=﹣2， ∴a=2，b=2， ∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）， ∴OA=OB=2， ∴∠OAB=∠OBA； （2）證明：∵∠AOB=90°，∠ADB=90°， ∴A、O、B、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上， ∵OA=OB，且∠AOB=90°， ∴∠OAB=∠OBA=45°， ∴∠ADO=∠OBA=45°， ∴∠BDO=∠OAB=45°， ∴∠BDO=∠ADO， ∴OD平分角ADB； （3）解：∠PEG=45°不變． 連接EF和BE，在BG上截BM=PF，連接ME， ∵點(diǎn)E是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)， ∴EF=BE，四邊形AFBE是正方形， ∴△PFE≌△MBE， ∴∠MEB=∠PEF， ∵GB∥EF， ∴∠FEG=∠AGE． ∴∠PEG=∠PEF+∠GEF=∠MEB+∠MGE， ∵△PGE≌△MGE， ∴∠PEG=∠GEM， ∴∠GEM=∠MEB+∠MGE， ∵∠GEM+∠MEB+∠MGE=90°， ∴∠GEM=∠MEB+∠MGE=45°， ∴∠PEG=45°