Question

如圖,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B在A的左側(cè)),頂點(diǎn)為C, 點(diǎn)D（1,m）在此二次函數(shù)圖象的對稱軸上,過點(diǎn)D作y軸的垂線,交對稱軸右側(cè)的拋物線于E點(diǎn)．

（1）求此二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,1）時(shí),連接BD、．求證：平分；

（3）點(diǎn)G在拋物線的對稱軸上且位于第一象限,若以A、C、G為頂點(diǎn)的三角形與以G、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似,求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）二次函數(shù)的解析式為； C（1,-4）；

（2）平分；

（3）E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或..

【解析】

試題分析：解：（1）∵點(diǎn)D（1,m）在圖象的對稱軸上,

∴．

∴．

∴二次函數(shù)的解析式為．

∴C（1,-4）．  

（2）∵D（1,1）,且DE垂直于y軸,

∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1,DE平行于x軸．

∴．

令,則,解得．

∵點(diǎn)E位于對稱軸右側(cè),

∴E．

∴D E =．

令,則,求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1,0）．

∴BD =．

∴BD = D E．

∴ ．

∴ ．

∴平分．

（3）∵以A、C、G為頂點(diǎn)的三角形與以G、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似,

且△GDE為直角三角形,

∴△ACG為直角三角形．       

∵G在拋物線對稱軸上且位于第一象限,

∴．

∵A（3,0）C（1,-4）,,

∴求得G點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）．

∴AG=,AC=．

∴AC=2 AG.

∴GD=2 DE或 DE =2 GD.

設(shè)（t >1） ,

.當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)G的上方時(shí),則DE=t -1,

GD = ()=.

i.如圖,當(dāng) GD=2 DE時(shí),

則有, = 2(t-1).

解得,.(舍負(fù))

ii. 如圖3當(dāng)DE =2GD時(shí),

則有,t -1=2().

解得,.(舍負(fù))

. 當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)G的下方時(shí),則DE=t -1,

  GD=1- ()= -.

i. 如圖,當(dāng) GD=2 DE時(shí),

則有, =2（t -1）.

解得,.(舍負(fù)) 

ii. 如圖,當(dāng)DE =2 GD時(shí),

則有,t-1=2（）.

解得,.(舍負(fù))  

綜上,E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或或.

考點(diǎn)：拋物線相關(guān).